数学公式

MathJax 是一个跨浏览器的 JavaScript 库，它使用 MathML、LaTeX和ASCIIMathML标记在Web浏览器中显示数学符号。MathJax 是在 Apache 许可证下作为开源软件发布的。

使用

mathjax: true

语法

MathJax 中的公式排版有两种方式，inline和displayed。 inline表示公式嵌入到文本段中。例如，当 $a \ne 0$ 时 $ax^2 + bx + c = 0$ 这是一个inline公式。displayed 表示公式独自成为一个段落

$$ AveP = \int_0^1 p(r) dr $$

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

常用字符

• \infty: $\infty$
• 加减乘除$\times \div \pm \mp$：$\times \div \pm \mp$
• 点乘$\cdot$：$\cdot$
• 符号$\lt \gt \le \leq \leqq \leqslant \ge \geq \geqq \geqslant \neq$：$\lt \gt \le \leq \leqq \leqslant \ge \geq \geqq \geqslant \neq$
• 空格$\quad$：$\quad$
• 求导$\text{d}x$：$\text{d}x$
• 累乘$\prod$：$\prod$
• 积分$\int$：$\int$
• 积积分$\iint$：$\iint$
• 积积积分$\iiint$：$\iiint$
• 并集交集$\cup \cap \setminus \subset \subseteq \subsetneq \supset \in \notin \emptyset \varnothing$：$\cup \cap \setminus \subset \subseteq \subsetneq \supset \in \notin \emptyset \varnothing$
• 箭头$\to \rightarrow \leftarrow \Rightarrow \Leftarrow \mapsto$：$\to \rightarrow \leftarrow \Rightarrow \Leftarrow \mapsto$
• 绝对值 $\vert x \vert$：$\vert x \vert$
• Delta \Delta：$\Delta$
• 导数
  • \frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} x}：$\frac{\mathrm{d} y } {\mathrm{d} x }$
  • f^{\prime}(x)：$f^{\prime}(x)$
• 偏导数 \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}：$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$
• 梯度 \nabla f：$\nabla f$
• 向量 \vec x：$\vec x$
• 绝对值 \lvert x \rvert：$\lvert x \rvert$
• 范数 \lVert x \rVert：$\lVert x \rVert$

上标与下标

• 上标: _
• 下标: ^

$a^x + y \neq a^{x+y}$
$a_{1} \qquad x^2 \qquad e^{-at} \qquad  a_{ij}^{3} \qquad e^{x^2} \neq {e^x}^2$

$$ a^x + y \neq a^{x+y} $$ $$ a_{1} \qquad x^2 \qquad e^{-at} \qquad a_{ij}^{3} \qquad e^{x^2} \neq {e^x}^2 $$

括号

• 小括号与方括号：使用原始的()，[]即可，如(2+3)[4+4]: $(2+3)[4+4]$
• 大括号：由于大括号{}被用来分组，因此需要使用{和}表示大括号，如{a*b}: {𝑎∗𝑏}
• 尖括号：使用\langle和\rangle表示左尖括号和右尖括号。如 $\langle x \rangle: $\langle x \rangle$
• 上取整：使用\lceil和\rceil表示。如 \lceil x \rceil: $\lceil x \rceil$
• 下取整：使用\lfloor和\rfloor表示。如 \lfloor x \rfloor: $\lfloor x \rfloor$
• 不可见括号：使用.表示

求和

• \sum 用来表示求和符号，其下标表示求和下限，上标表示上限。如 \sum_1^n: $\sum_1^n$

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$$

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$$

积分

• \int 用来表示积分符号，同样地，其上下标表示积分的上下限。如 \int_1^\infty: $\int_1^\infty$
• 与此类似的符号还有：
  • \prod: $\prod$
  • \bigcup: $\bigcup$
  • \bigcap: $\bigcap$
  • \iint: $\iint$

$$\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x$$

$$\int_0^1 {x^2} ,{\rm d}x$$

分式

分式的表示：

• 第一种，使用\frac ab，\frac 作用于其后的两个组a, b ，结果为 $\frac ab$。如果你的分子或分母不是单个字符，请使用{…}来分组。
• 第二种，使用\over来分隔一个组的前后两部分，如 {a+1 \over b+1}: ${a+1 \over b+1}$

根式

根式使用 \sqrt 表示，如：\sqrt[4]{\frac xy}: $\sqrt[4]{\frac xy}$

矩阵

$$
\begin{vmatrix}
x & y \\\\
z & v
\end{vmatrix}
$$

$$ \begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} $$

分段函数

参数说明：

• & 表示对齐
• \\\\ 表示换行

$$
f(n) =
\begin{cases}
n/2,  & \text{if $n$ is even} \\\\
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
$$

$$ f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

$$
\left.
\begin{array}{l}
\text{if $n$ is even}, & n/2 \\\\
\text{if $n$ is odd}, & 3n+1
\end{array}
\right.\\\\
=f(n)
$$

$$ \left. \begin{array}{l} \text{if $n$ is even}, & n/2 \\ \text{if $n$ is odd}, & 3n+1 \end{array} \right.\\ \Big\}=f(n) $$

$$
\begin{equation}\begin{split}
H(Y|X)&=\sum_{x\in X} p(x)H(Y|X)\\\\
&=-\sum_{x\in X} p(x)\sum_{y\in Y}p(y|x)\log p(y|x)\\\\
&=-\sum_{x\in X} \sum_{y\in Y}p(y,x)\log p(y|x)
\end{split}\end{equation}
$$

$$ \begin{equation}\begin{split} H(Y|X)&=\sum_{x\in X} p(x)H(Y|X)\\ &=-\sum_{x\in X} p(x)\sum_{y\in Y}p(y|x)\log p(y|x)\\ &=-\sum_{x\in X} \sum_{y\in Y}p(y,x)\log p(y|x) \end{split}\end{equation} $$

极限

$$\lim_{变量 \to 表达式} 表达式$$

$$\lim_{变量 \to 表达式} 表达式$$

表格

$$
\begin{array}{ccc|c}
a11 & a12 & a13  & b1 \\\\
a21 & a22  & a23 & b2  \\\\
a31 & a32  & a33 & b3  \\\\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{ccc|c} a11 & a12 & a13 & b1 \\ a21 & a22 & a23 & b2 \\ a31 & a32 & a33 & b3 \\ \end{array} $$

希腊字母

$\lambda, \xi, \pi, \mu, \phi, \omega$

$\lambda , \xi , \pi , \mu , \phi , \omega $

其他

$\sqrt{x} \qquad \sqrt{x^2 + \sqrt{y}} \qquad \sqrt[3]{2} \qquad \surd[x^2 + y^2]$

$\sqrt{x} \qquad \sqrt{x^2 + \sqrt{y}} \qquad \sqrt[3]{2} \qquad \surd[x^2 + y^2]$

$\overline{m+n} \qquad \underline{m+n}$

$\overline{m+n} \qquad \underline{m+n}$

$\underbrace{a+b+\cdots + z}$

$\underbrace{a+b+\cdots + z}$

$y = x^2 \qquad y' = 2x \qquad y'' = 2$

$y = x^2 \qquad y’ = 2x \qquad y’’ = 2$

$\vec a \qquad \overrightarrow{AB} \qquad \overleftarrow{ab}$

$\vec a \qquad \overrightarrow{AB} \qquad \overleftarrow{ab}$

$v = {\sigma}_1\cdot {\sigma}_2{\tau}_1 \cdot {\tau}_2$

$v = {\sigma}_1\cdot {\sigma}_2{\tau}_1 \cdot {\tau}_2$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

$1\frac{1}{2}hours \qquad \frac{x^2}{k + 1} \qquad x^{\frac{2}{k + 1}} \qquad x^{1/2}$

$1\frac{1}{2}hours \qquad \frac{x^2}{k + 1} \qquad x^{\frac{2}{k + 1}} \qquad x^{1/2}$

${n \choose k} \qquad {x \atop y+2}$

${n \choose k} \qquad {x \atop y+2}$

$\int f_N(x) \stackrel {!}{=} 1$

$\int f_N(x) \stackrel {!}{=} 1$

$\sum_{i = 1}^{n} \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad \prod_\epsilon$

$\sum_{i = 1}^{n} \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad \prod_\epsilon$

$a,b,c \neq \{a,b,c\}$

$a,b,c \neq {a,b,c}$

$1 + \left (\frac {1}{1 - x^2}\right)^3$

$1 + \left (\frac {1}{1 - x^2}\right)^3$

$\Big( (x + 1) (x + 1) \Big)^2 $

$\Big( (x + 1) (x + 1) \Big)^2 $

$\big(  \Big(  \bigg(  \Bigg($

$\big( \Big( \bigg( \Bigg($

$\big\|  \Big\|  \bigg\|  \Bigg\|$

$\big| \Big| \bigg| \Bigg|$

$x_1,\ldots , x_n \qquad x_1+\cdots + x_n \qquad {x_1  \qquad x_n \choose x_1 \ddots   x_n}$

$x_1,\ldots , x_n \qquad x_1+\cdots + x_n \qquad {x_1 \qquad x_n \choose x_1 \ddots x_n}$